Dérivée d'une fonction composée avec ln

Théorème

Soit  \(u\) une fonction définie et dérivable sur un intervalle  \(I\)  telle que, pour tout réel \(x \in I, \ u(x) > 0\) .
Alors la fonction  \(\ln(u)\)  est dérivable sur  \(I\) et  \((\ln(u))'=\dfrac{u'}{u}\) .

Exemple

On considère la fonction \(f\)  définie sur \(\mathbb{R}\)  par \(f(x)=\ln(x^2+5)\) .
Pour tout réel \(x,\ x^2+5>0\)  donc \(f\)  est dérivable sur \(\mathbb{R}\)  et, pour tout réel \(x,\ f'(x)=\dfrac{2x}{x^2+5}\) .